数弹孔的数学大师——亚伯拉罕·沃德

2018年高考语文全国卷II的作文题给了这么一个资料：“二战期间，为了加强对战机防护，英美军方调查了作战后幸存飞机上的弹痕的分布，决定哪里弹痕多就加强哪里，然而统计学家沃德力排众议，指出更应该注意弹痕少的部位，因为这些部位收到重创的战机，很难有机会返航，而这部分数据被忽略了，事实证明，沃德是正确的。”
这个沃德是一位二战期间隐居在战场幕后的英雄，他不仅用自己的数学天才挽救了无数空军飞行员的生命，而且用数学理论提升了美国军队后勤补给的验收效率，为美国赢得战争做出了非常重要的贡献。

为避难远走美国

1902年，亚伯拉罕·沃德出生于奥匈帝国（今罗马尼亚）的克卢日—纳波卡市的一个犹太家庭。上学读书时，沃德偏爱数学，很有天分，考入了斐迪南一世国王大学（1948年改称巴贝什·博尧依大学）数学系。大学毕业后在数学专业一路深造，1931年，沃德拿到了数学博士学位，掌握了多门深奥的数学理论，培养了良好的数学思维习惯。
然而，沃德完成学业的日子却正好赶上了纳粹势力崛起的时期，毗邻德国的奥地利，也掀起了迫害犹太人的风暴。1938年，纳粹德国吞并了奥地利，为了避难，沃德不得不离开欧洲，前往美国。
在美国，沃德这样的人才是深受欢迎的。美国企业家新近创立的“考尔斯经济学研究委员会”很快就向沃德发出邀请，招聘他做计量经济学领域的研究员。不久，二战爆发了，沃德又被美国政府召入“统计学研究小组”。
“统计学研究小组”是美国政府为打赢二战而成立的数学家智囊团，其成员包括控制论的创始人诺伯特•维纳、哈佛大学统计系的创建者弗雷德里克·莫斯特勒以及建立现代货币数量论的米尔顿·弗里德曼等等。
“统计学研究小组”的办公室设在哥伦比亚大学，每天，美国军方都会在这里丢给沃德和“诺伯特•维纳”们一堆“作战任务”：计算轰炸机炸弹的弹道，帮助轰炸机投弹手锁定目标；根据德国、日本大型军舰的照片建模，测算敌舰的航速和转弯能力；设计为运输船队护航的美国海军的编队规模和航行路线，降低运输船在大西洋遭遇德国潜艇的概率……这些都是战争带给数学家们的课题，显然，这些课题也只有精通密码学、运筹学、概率论、统计学和计算科学的顶尖数学家才能胜任。

数弹孔挽救空军

1943年的一天，沃德正在哥伦比亚大学画着各种方程和数学矩阵，新的任务又分派下来了。美军飞行员在德国天空正遇到强劲的挑战，战机频频被击落。为了减少损失率，美国空军决定给战机增加防弹装甲。但装甲笨重，又会降低战机的机动性，所以，最好只在战机上最需要补强的部位提供装甲。空军长官们想知道，到底哪里才是战机最需要补强（增加装甲）的部位。

沃德开始搜集数据，他观察了大量被子弹击中却幸运“跛行”返航的B29轰炸机，那些轰炸机已经千疮百孔，被美军飞行员戏称为“瑞士奶酪”。通过阅读大量的弹孔记录，沃德发现，B29庞大的机身上弹孔最多，其次是机翼，而发动机和燃油系统处的弹孔数量还不到机身弹孔数量的一半。情况似乎很清楚了——B29机身受到子弹攻击的概率更高，而且是安置电子设备和投弹手的舱室，最需要补充装甲——空军长官的第一反应也是这样的。但是，这种观点是错误的，沃德也知道它为什么错了。

随后，沃德向美国国防部提交了调查报告，认为发动机和燃油系统才是B29最需要保护的“核心部位”。他在报告中解释道，机身和机翼大量的弹孔表明，这里容易被击中，但也意味着，即使这里承受了大量的火力，B29还是可以返航的。在B29的“核心部位”很少发现弹孔，并不是因为这里不容易中弹，而是因为这里只要被打中，B29就会坠落，飞不回来。即，美军看到的B29的弹孔记录只是来自于幸存者，仅仅依靠幸存者所做的判断是不科学的，那些被忽视了的非幸存者才是关键，他们根本就没有飞回来。这就好比医生去医治经过枪击而活下来的人，他们会发现伤者的手部、腿部中弹的很多，而头部和心脏中弹的情况少之又少，正说明了人的头部和心脏更需要保护。
美国空军采用了沃德的建议，加强了对于发动机和燃油系统的防护，这在后来被证明是无比正确的决策，美军战机的损失率大大降低。

“序贯分析”节省军用物资

二战中，美国军用物资的消耗量大得惊人。对于习惯奢侈的美国大兵们来说，汽油、弹药、火炮、巧克力、香烟一个都不能少，他们每天都要在战场上“烧”掉数千万美金。美国政府虽然财大气粗，也不得不考虑军需节省的事情。但是，美国军方十分重视士兵的生命安全，自然不会削减军队的后勤补给，他们希望能够在军用物资的验收环节做到一些节省。于是，1944年，军方把这个课题抛给了沃德，让他想想办法。

沃德明白，军用物资的验收一定要保证准确性，因为军用物资的质量有可能会到影响一场战役的胜负。然而，验收时要提高准确性，往往会带来物资的浪费。

比如，工厂生产了1万枚炮弹，如果想知道合格率，你可以挨个地把这1万枚炮弹全部打完，做一个统计表——这样的做法最准确，但全部炮弹都被浪费了。所以，正常情况下，军队采用的是抽样检查。验收的一方，先定下一个标准，假设定为“合格率必须大于99%”。根据这个标准，设定合适的样本数量，比如500枚样本或者1000枚样本，抽取两组，分别做测试，计算平均合格率。最后，用样本的合格率，估算所有炮弹的合格率。但这样的检查属于固定抽样，做一次验收就需要打完1000枚或者2000枚炮弹，花费太高。为了减少浪费，沃德开创性地提出了“序贯分析”理论。

所谓序贯分析，是一种灵活的抽样方案。验收的一方，不事先规定总的抽样的数量，而是先抽少量样本，根据其结果，再决定“停止抽样”或“继续抽样”“抽多少”。如此进行下去，直至决定停止抽样为止。比如，1万枚炮弹，要求合格率必须大于99%，这意味着100枚炮弹里，最多只能有1枚不合格。那么，验收方先抽样100枚出来，进行测试。如果不合格的炮弹的数量大于1，那么这批炮弹极可能不符合要求，就不用接着测试了；如果不合格的炮弹的数量少于1，可以通过数学计算，判断接下来还要不要继续抽样，需要抽多少。因此，序贯分析边抽边检、不断调整后续行动。这样，就能充分利用抽样检查的结果，既能保证准确性，又能大量地减少浪费。

在序贯分析理论用于军队补给验收的当月，其威力就显现出来，美军军用卡车轮胎的供应量一下子比上个月提升了6.37%。在后续的战争期间，序贯分析为美国军方节省了大量军火物资，其价值远远超过了美国政府投入“统计学研究小组”的全部研究经费。